The vepsaný úhel kruhu Je to ten, který má svůj vrchol na obvodu a jeho paprsky jsou k němu šikmé nebo tečné. V důsledku toho bude vepsaný úhel vždy konvexní nebo plochý..
Na obrázku 1 je znázorněno několik úhlů zapsaných v jejich příslušných obvodech. Úhel ∠EDF je zapsán tím, že jeho vrchol D na obvodu a jeho dva paprsky [DE) a [DF) protínající obvod.
Podobně je vepsán úhel ∠HGI, který má svůj vrchol na obvodu a jeho strany se k němu sešikují.
Úhly ∠KJR a ∠UST jsou také zapsány na obvodu. První má sečnu a druhou tečnu, zatímco druhá má své dvě strany tečné k obvodu, tvořící rovinu vepsaného úhlu (180 °).
Někteří autoři nazývají částečně vepsaný úhel, který má jedna z jeho stran tečna k obvodu, ale v tomto článku je považován za vepsaný..
Každý vepsaný úhel definuje nebo subtenduje oblouk s ním spojený. Například na obrázku 2 je vepsaný úhel ∠ABC úměrný oblouku A⌒C délky d.
Stejný obrázek ukazuje úhel ∠DOE, který není vepsán do obvodu, protože jeho vrchol nemá svůj obvod, ale ve středu O.
Rejstřík článků
Kromě zapsaného úhlu, v obvodu středový úhel, což je ten, jehož vrchol je ve středu obvodu a jehož strany protínají obvod.
Míra v radiánech středního úhlu je kvocient mezi subtending obloukem, to znamená obloukem obvodu mezi stranami úhlu a poloměrem obvodu.
Pokud je obvod jednotný (poloměr 1), pak délka oblouku ve stejných jednotkách poloměru je mírou úhlu v radiánech.
A když je požadována míra úhlu ve stupních, pak je míra v radiánech vynásobena faktorem 180 ° / π.
Přístroje pro měření úhlů vždy používají středový úhel a délka oblouku jím podřízeného je přímo kalibrována ve stupních. To znamená, že kdykoli se měří úhel, měří se v pozadí délka oblouku, která je podřízena středním úhlem.
Míra zapsaného úhlu je polovinou míry středového úhlu, pokud oba úhly mají stejný oblouk.
Na obrázku 4 jsou znázorněny dva úhly ∠ABC a ∠AOC, které protínají stejný oblouk obvodu A⌒C.
Pokud je míra vepsaného úhlu α, pak míra β středního úhlu je dvojnásobkem míry vepsaného úhlu (β = 2 α), protože obě mají stejný oblouk míry d.
Abychom dokázali větu 1, začneme ukázáním několika konkrétních případů, dokud se nedostaneme k obecnému případu.
Předpokládejme vepsaný úhel, ve kterém jedna z jeho stran prochází středem obvodu, jak je znázorněno na obrázku 5.
V tomto případě se vytvoří rovnoramenný trojúhelník COB, protože [OC] = [OB].
V rovnoramenném trojúhelníku jsou úhly sousedící se základnou stejné, proto ∠BCO = ∠ABC = α. Na druhé straně ∠COB = 180º - β.
Vzhledem k součtu vnitřních úhlů trojúhelníku COB máme:
α + α + (180 ° - β) = 180 °
Z čehož vyplývá, že 2 α = β, nebo co je ekvivalentní: α = β / 2. To se shoduje s tím, co uvádí věta 1: míra vepsaného úhlu je polovina středního úhlu, pokud oba úhly mají stejný akord [AC].
V tomto případě máme vepsaný úhel ∠ABC, ve kterém je střed O obvodu v úhlu.
K prokázání věty 1 je v tomto případě nakreslen pomocný paprsek [BO), takže máme dva zapsané úhly ∠ABO a ∠OBC sousedící s uvedeným paprskem.
Podobně máme středové úhly β1 a βdva sousedící s uvedeným paprskem. Tímto způsobem máme stejnou situaci jako v důkazu 1a, takže lze konstatovat, že αdva = βdva / 2 a α1 = β1 /dva. Protože α = α1 + αdva a β = β1 + βdva z toho tedy vyplývá, že α = α1 + αdva = β1 / 2 + βdva / 2 = (β1 + βdva) / 2 = β / 2.
Na závěr α = β / 2, který splňuje větu 1.
Pokud dva nebo více vepsaných úhlů svírá stejný oblouk, pak mají stejnou míru.
Vepsané úhly, které podstupují akordy stejné míry, jsou stejné.
Ukažte, že vepsaný úhel, který tvoří průměr, je pravý úhel.
Středový úhel ∠AOB spojený s průměrem je rovinný úhel, jehož míra je 180 °.
Podle věty 1 má každý úhel zapsaný v obvodu, který svírá stejný akord (v tomto případě průměr), jako měřítko polovinu středního úhlu, který svírá stejný akord, což je pro náš příklad 180 ° / 2 = 90 °.
Přímka (BC) tečna A k obvodu C určuje vepsaný úhel ∠BAC (viz obrázek 10).
Ověřte, že věta 1 o zapsaných úhlech je splněna.
Úhel ∠BAC je vepsaný, protože jeho vrchol je na obvodu a jeho strany [AB) a [AC) jsou tečné k obvodu, takže definice vepsaného úhlu je splněna.
Napsaný úhel ∠BAC na druhé straně obepíná oblouk A, A, což je celý obvod. Středový úhel, který svírá oblouk A⌒A, je konvexní úhel, jehož měřítkem je plný úhel (360 °).
Vepsaný úhel, který svírá celý oblouk, měří polovinu příslušného středového úhlu, tj. ∠BAC = 360 ° / 2 = 180 °.
Se všemi výše uvedenými skutečnostmi je ověřeno, že tento konkrétní případ splňuje větu 1.
Zatím žádné komentáře