The transcendentní čísla jsou ty, které nelze získat v důsledku polynomiální rovnice. Opakem transcendentního čísla je a algebraické číslo, což jsou řešení polynomiální rovnice typu:
nan Xn + nan-1 Xn-1 +… + Adva Xdva + na1 x + a0 = 0
Kde jsou koeficienty an, nan-1,… Dodva, na1, na0 jsou racionální čísla, která se nazývají koeficienty polynomu. Pokud je číslo x řešením předchozí rovnice, pak toto číslo není transcendentní.
Analyzujeme několik čísel a uvidíme, zda jsou transcendentní nebo ne:
a) 3 není transcendentní, protože se jedná o řešení x - 3 = 0.
b) -2 nemůže být transcendentní, protože se jedná o řešení x + 2 = 0.
c) ⅓ je řešení 3x - 1 = 0
d) Řešení rovnice xdva - 2x + 1 = 0 je √2 -1, takže číslo podle definice není transcendentní.
e) Ani √2 není, protože je výsledkem rovnice xdva - 2 = 0. Squaring √2 dává výsledek 2, který se odečte od 2 rovná nule. √2 je tedy iracionální číslo, ale není transcendentní.
Rejstřík článků
Problém je v tom, že neexistuje obecné pravidlo, jak je získat (později si řekneme způsob), ale některé z nejznámějších jsou pi a Neperské číslo, označeno příslušně: π Y a.
Číslo π Přirozeně se to jeví pozorováním, že matematický kvocient mezi obvodem P kruhu a jeho průměrem D, bez ohledu na to, zda se jedná o malý nebo velký kruh, dává vždy stejné číslo, tzv. pi:
π = P / D ≈ 3,14159…
To znamená, že pokud je průměr obvodu považován za jednotku měření, pro všechny z nich, velký nebo malý, bude obvod vždy P = 3,14… = π, jak je vidět na animaci obrázku 2.
Aby bylo možné určit více desetinných míst, je nutné měřit P a D s větší přesností a poté vypočítat podíl, který byl proveden matematicky. Závěrem je, že desetinná místa kvocientu nemají žádný konec a nikdy se neopakují, takže číslo π kromě toho, že je transcendentní, je také iracionální.
Iracionální číslo je číslo, které nelze vyjádřit jako dělení dvou celých čísel.
Je známo, že každé transcendentní číslo je iracionální, ale není pravda, že všechna iracionální čísla jsou transcendentní. Například √2 je iracionální, ale není transcendentní.
Transcendentní číslo e je základem přirozených logaritmů a jeho desetinná aproximace je:
e ≈ 2,718281828459045235360… .
Pokud jste chtěli napsat číslo a přesně, bylo by nutné psát nekonečná desetinná místa, protože každé transcendentní číslo je iracionální, jak již bylo řečeno.
Prvních deset číslic a jsou snadno zapamatovatelné:
2,7 1828 1828 a přestože se zdá, že se řídí opakujícím se vzorem, není toho dosaženo v desetinných místech řádu větším než devět.
Formálnější definice a je další:
Což znamená, že přesná hodnota a je dosaženo provedením operace uvedené v tomto vzorci, když je přirozené číslo n inklinuje k nekonečnu.
To vysvětluje, proč můžeme získat pouze aproximace a, protože bez ohledu na to, jak velké je číslo n, bude vždy možné najít a n vyšší.
Pojďme se podívat na nějaké přiblížení sami:
-Když n = 100 pak (1 + 1/100)100 = 2,70481, který se sotva shoduje na prvním desetinném místě s „skutečnou“ hodnotou e.
-Pokud zvolíte n = 10 000, máte (1 + 1/10 000)10 000 = 2,71815, který odpovídá „přesné“ hodnotě e na prvních třech desetinných místech.
Tento proces by musel být nekonečně sledován, aby se získala „skutečná“ hodnota e. Nemyslím si, že na to máme čas, ale zkusme ještě jednu:
Použijme n = 100 000:
(1 + 1/100 000)100 000 = 2,7182682372
To má pouze čtyři desetinná místa odpovídající hodnotě považované za přesnou.
Důležité je pochopit, že čím vyšší je hodnota n zvolená pro výpočet en, čím blíže je to ke skutečné hodnotě. Ale tato skutečná hodnota bude mít pouze tehdy, když n je nekonečné.
Další důležitá čísla
Kromě těchto slavných čísel existují i další transcendentní čísla, například:
- dva√2
Každé algebraické číslo, jiné než 0 nebo 1, zvednuté na iracionální exponent bude transcendentní číslo.
-Champernowne číslo v základu 10:
C_10 = 0,123456789101112131415161718192021… .
-Champernowne číslo v základně 2:
C_2 = 0,1101110010110111… .
-Gamma číslo γ nebo Euler-Mascheroniho konstanta:
γ ≈ 0,577 215 664 90 1532 860 606
Což se získá provedením následujícího výpočtu:
γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)
Když n být velmi velký. Chcete-li mít přesnou hodnotu čísla gama, budete muset provést výpočet pomocí n nekonečný. Něco podobného tomu, co jsme udělali výše.
A existuje mnohem více transcendentních čísel. Velký matematik Georg Cantor, narozený v Rusku, který žil v letech 1845 až 1918, ukázal, že množina transcendentních čísel je mnohem větší než množina algebraických čísel.
P = π D = 2 π R, kde P je obvod, D průměr a R poloměr obvodu. Je třeba si uvědomit, že:
-Průměr obvodu je nejdelší úsek, který spojuje dva body téhož a který vždy prochází jeho středem,
-Poloměr je polovina průměru a je segmentem, který jde od středu k okraji.
A = π Rdva = ¼ π Ddva
S = 4 π Rdva.
Ano, i když se to nemusí zdát, povrch koule je stejný jako povrch čtyř kruhů se stejným poloměrem jako koule..
V = 4/3 π R3
Pizzerie „EXÓTICA“ prodává pizzy tří průměrů: malé 30 cm, střední 37 cm a velké 45 cm. Dítě je velmi hladové a uvědomilo si, že dvě malé pizzy stojí stejně jako jedna velká. Co pro něj bude lepší, kupte si dvě malé pizzy nebo jednu velkou?
Čím větší plocha, tím větší množství pizzy, z tohoto důvodu se vypočítá plocha velké pizzy a porovná se s velikostí dvou malých pizz:
Velká plocha na pizzu = ¼ π Ddva = ⋅ .13,1416⋅45dva = 1590,44 cmdva
Malá oblast na pizzu = ¼ π ddva = ⋅ .13,1416⋅30dva = 706,86 cmdva
Proto budou mít dvě malé pizzy plochu
2 x 706,86 = 1413,72 cmdva .
Je to jasné: budete mít více pizzy při nákupu jedné velké než dvou malých.
Pizzerie „EXÓTICA“ prodává také polokulovou pizzu o poloměru 30 cm za stejnou cenu jako obdélníková pizza o straně 30 x 40 cm. Které byste si vybrali?
Jak bylo uvedeno v předchozí části, povrch koule je čtyřikrát větší než plocha kruhu se stejným průměrem, takže polokoule o průměru 30 cm bude mít:
12 '' polokulová pizza: 1413,72 cmdva (dvakrát kruhový se stejným průměrem)
Obdélníková pizza: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cmdva .
Půlkulatá pizza má větší plochu.
Zatím žádné komentáře