The trigonometrické poměry jsou kvocienty nebo poměry, které lze vytvořit s hodnotou stran pravoúhlého trojúhelníku. Tyto strany jsou: dvě nohy, které navzájem tvoří 90 °, a přepona, která s jednou z nohou tvoří ostrý úhel θ..
Můžete vytvořit 6 kvocientů. Jejich názvy a příslušné zkratky jsou:
Všechny odkazovaly na úhel θ, jak ukazuje následující obrázek:
Základní trigonometrické poměry úhlu θ jsou sin θ, cos θ a tan θ, zatímco zbývající poměry lze vyjádřit pomocí těchto tří. Z výše uvedené tabulky je patrné, že:
Velikost stran trojúhelníku nemá vliv na hodnotu poměrů, protože dva trojúhelníky, jejichž úhly měří stejné, jsou podobné trojúhelníky a příslušné poměry mezi stranami mají stejnou hodnotu.
Rejstřík článků
Například vypočítejme trigonometrické poměry úhlu θ v následujících trojúhelnících:
Pro malý trojúhelník máme tři základní poměry úhlu θ:
hřích θ = 3/5
cos θ = 4/5
tg θ = ¾
A teď pojďme vypočítat tři základní poměry θ s velkým trojúhelníkem:
hřích θ = 30/50 = 3/5
cos θ = 40/50 = 4/5
tg θ = 30/40 = ¾
Důležitý detail, který je třeba vzít v úvahu, je následující: jak sin θ, tak cos θ jsou menší než 1, protože nohy vždy měří méně než přepona. Vskutku:
sin θ = 3/5 = 0,6
cos θ = 4/5 = 0,8
V následujících cvičeních budete vyzváni k řešení pravoúhlého trojúhelníku, což znamená zjištění délky jeho tří stran a míry jeho vnitřních úhlů, z nichž jeden vždy měří 90 °.
Pythagorova věta platí pro pravé trojúhelníky a je velmi užitečná, když jsou známy dvě strany a je třeba určit chybějící stranu. Věta zní takto:
Přeponadva = protilehlá nohadva + sousední nohadva
Můžeme zkontrolovat Pythagorovu větu s malým trojúhelníkem na obrázku 2, jehož nohy jsou 3 a 4. Na pořadí, ve kterém jsou nohy vzaty, nezáleží. Uplatnění věty máme:
Přeponadva = 3dva + 4dva = 9 + 16 = 25
Proto je přepona:
Hypotenuse = √25 = 5
Vypočítejte trigonometrické poměry úhlů zobrazených v následujících trojúhelnících:
Tento trojúhelník je stejný jako na obrázku 3, ale my jsme požádáni o trigonometrické poměry druhého ostrého úhlu, označeného α. Výrok nenabízí hodnotu přepony, ale použitím Pythagorovy věty víme, že má hodnotu 5.
Poměry lze vypočítat přímo z definice, při výběru nohy, která je, buďte opatrní opak úhlu α vypočítat hřích α. Uvidíme:
A jak vidíme, hodnoty trigonometrických poměrů byly vyměněny. Ve skutečnosti jsou α a θ komplementární úhly, což znamená, že sčítají až 90 °. V tomto případě je pravda, že sin α = cos θ atd. Z ostatních důvodů.
Pojďme vypočítat přeponu trojúhelníku pomocí Pythagorovy věty:
Přeponadva = 20dva + dvacet jednadva = 841
√841 = 29
Potom je 6 trigonometrických poměrů úhlu β:
a) Najděte hodnotu x na obrázku.
b) Vypočítejte obvod 3 zobrazených trojúhelníků.
Na obrázku můžeme identifikovat několik trojúhelníků, zejména pravý trojúhelník vlevo, který má nohu rovnou 85 a ostrý úhel 60 °.
S informacemi z tohoto trojúhelníku můžeme vypočítat stranu b. Nejedná se o opatření požadované v prohlášení, ale znalost jeho hodnoty je předchozím krokem.
K určení toho je vhodný poměr tg 60 ° = 85 / b, protože b je noha sousedící s 60 ° a 85 je opakem uvedeného úhlu. Proto:
b = 85 / tg 60º = 85 / √3
Jakmile je b známé, použijeme velký a vnější pravý trojúhelník, který má společnou stranu s předchozím trojúhelníkem: ten, který měří 85. To je noha naproti 30 ° úhlu..
Odtud:
Noha přiléhající k 30º = (85 / √3) + x
Nyní můžeme navrhnout následující:
85 / [(85 / √3) + x] = tg 30 °
To, co je v závorkách, se stane násobením tg 30º:
85 = [(85 / √3) + x]. tg 30º
Uplatnění distribuční vlastnosti násobení:
85 = tg 30 °. (85 / √3) + x. tg 30º
Proto:
x.tg 30º = 85 - tg 30º. (85 / √3) = 85 [1 - tg 30 °. (1 / √3)] = 85. (2/3) = 170/3
Dosazením hodnoty tg 30º = √3 / 3:
x = (170/3) ÷ (√3 / 3) = 98,15
Ať h1 přepona tohoto trojúhelníku, kterou lze vypočítat pomocí Pythagorovy věty nebo pomocí trigonometrického poměru, například cos 60 °:
cos 60 ° = 85 / √3 / h1→ h1 = (85 / √3) ÷ cos 60º = 98,1
Abychom našli P, obvod tohoto trojúhelníku, jednoduše přidáme 3 strany:
P = 85 + (85 / √3) + 98,1 = 232,2
Ať hdva k přeponě vnějšího trojúhelníku:
hřích 30º = 85 ÷ hdva
hdva = 85 ÷ hřích 30º = 170
Pro tento trojúhelník je obvod:
P = 85 + [(85 / √3) + 98,15] + 170 = 402,22
Již známe všechny jeho strany tohoto trojúhelníku:
P = x + h1 + hdva = 98,15 + 98,15 + 170 = 366,3
Trigonometrické poměry mají řadu praktických aplikací, například lze vypočítat výšky.
Předpokládejme, že vodárenská věž je 100 metrů od budovy. Pozorovatel u okna si všimne, že úhel elevace horního konce věže je 39 °, zatímco úhel prohlubně, se kterým je viděna základna věže, je 25 °. Zajímá se:
a) Jaká je výška věže?
b) Jak vysoké je okno?
Z nohy naproti 39 ° horního trojúhelníku získáme část odpovědi:
h1/ 325 = tg 39º → h1 = 325. tg 39º stopy = 263,2 stopy
Podobným způsobem získáme zbytek výšky věže, zvaný hdva počínaje spodním trojúhelníkem:
hdva/ 325 = tg 25º → hdva = 325. tg 25º stop = 151,6 stop
Celková výška věže je h1 + hdva = 263,2 + 151,6 stop = 414,7 stop.
Okno je přesně ve výšce hdva přízemní:
hdva = 151,6 stop.
Zatím žádné komentáře