The Fourierova transformace je metoda analytické přiměřenosti zaměřená na integrovatelné funkce, která patří do rodiny tintegrálně transformovaný. Skládá se z předefinování funkcí F (t) z hlediska Cos (t) a Sen (t).
Trigonometrické identity těchto funkcí spolu s jejich derivačními a antiderivačními charakteristikami slouží k definování Fourierovy transformace prostřednictvím následující komplexní funkce:
Což je pravda, pokud má výraz smysl, tj. Když je nesprávný integrál konvergentní. Algebraicky se o Fourierově transformaci říká, že je to lineární homeomorfismus.
Každá funkce, se kterou lze pracovat pomocí Fourierovy transformace, musí mít null mimo definovaný parametr.
Rejstřík článků
Fourierova transformace splňuje následující vlastnosti:
Ověřit existenci Fourierovy transformace ve funkci f (t) definované v realitách R, musí být splněny následující 2 axiomy:
Nechť M (t) a N (t) jsou libovolné dvě funkce s určitými Fourierovými transformacemi, s libovolnými konstantami a a b.
F [a M (t) + bN (t)] (z) = a F [M (t)] (z) + b F [N (t)] (z)
Což je také podporováno linearitou integrálu se stejným názvem.
Má funkci F který je spojitý a integrovatelný ve všech realitách, kde:
A derivát f (f ') je nepřetržitý a definovaný po částech R
Fourierova transformace derivace je definována integrací po částech následujícím výrazem:
F [f '(t)] (z) = izF [f (t)] (z)
U derivací vyššího řádu bude použita homologním způsobem, kde pro všechna n 1 máme:
F [F n„(t)] (z) = (iz)nF [f (t)] (z)
Má funkci F který je spojitý a integrovatelný ve všech realitách, kde:
i (d / dz)F [f (t)] (z) = F [t. f (t)] (z)
Pro všechny θ který patří do množiny S a T který patří do množiny S ', máme:
F [ τna θ] = a-mimo jiné F [ θ] F [ τnaT ] = a-iax F [ T]
S τna pracuje jako operátor překladu na vektoru a.
Pro všechny θ který patří do množiny S a T který patří do množiny S ', máme:
τna F [θ] = F [a-iax.θ] τna F [T ] = F [a-mimo jiné . T]
Pro všechny na kterému patří R
Pro všechny θ který patří do množiny S. T který patří do množiny S '
λ patřící do R - 0 musíš:
F [θ (λx)] = (1 / | λ |) F [θ] (Y /λ)
F [T (λx)] = (1 / | λ |) F [T] (y / λ)
Ano F je spojitá a jasně integrovatelná funkce, kde a> 0. Pak:
F [f (zavináč)] (z) = (1 / a) F [f (t)] (z / a)
K prokázání tohoto výsledku můžeme pokračovat změnou proměnné.
Když T → + pak s = at → + ∞
Když T → - pak s = v → - ∞
Chcete-li studovat symetrii Fourierovy transformace, je třeba ověřit identitu Parsevala a Plancherelův vzorec.
Máme θ a δ, které patří S. Odtud lze odvodit, že:
Získání
1 / (2π)d F [θ ], F [5] Parsevalova identita
1 / (2π)d / 2 || F [θ ] ||LdvaRd Plancherelův vzorec
Sledováním podobných cílů jako v Laplaceově transformaci se konvoluce funkcí týká produktu mezi jejich Fourierovými transformacemi.
Máme f a g jako 2 ohraničené, určité a zcela integrovatelné funkce:
F (f * g) = F (f). F (g)
Pak při změně proměnné
t + s = x; pokračuje nevhodným dvojitým integrálem
F (f). F (g) = F (f. G)
Pro všechny θ který patří R, F [ θ] se řídí kritérii spojité funkce ohraničené v Rd.
Taky F [ θ] (y) → 0 v C, pokud | y | → ∞
Tento matematický koncept představil Joseph B. Fourier v roce 1811 při přípravě pojednání o šíření tepla. To bylo rychle přijato různými odvětvími vědy a techniky.
Byl ustanoven jako hlavní pracovní nástroj při studiu rovnic s parciálními derivacemi, dokonce i při srovnání s existujícím pracovním vztahem mezi Laplaceova transformace a obyčejné diferenciální rovnice.
Slouží především k významnému zjednodušení rovnic, přičemž transformuje odvozené výrazy na výkonové prvky, přičemž označuje diferenciální výrazy ve formě integrovatelných polynomů..
Při optimalizaci, modulaci a modelování výsledků funguje jako standardizovaný výraz a je častým zdrojem pro inženýrství po několika generacích.
Jsou to řady definované ve smyslu kosinů a sinusů; Slouží k usnadnění práce s obecnými periodickými funkcemi. Jsou-li použity, jsou součástí technik řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic..
Fourierovy řady jsou ještě obecnější než Taylorovy řady, protože vyvíjejí periodické diskontinuální funkce, které nemají Taylorovu řadu..
Abychom analyticky pochopili Fourierovu transformaci, je důležité přezkoumat další způsoby, kterými lze Fourierovu řadu nalézt, dokud nebudeme moci definovat Fourierovu řadu v její komplexní notaci.
Mnohokrát je nutné přizpůsobit strukturu Fourierovy řady periodickým funkcím, jejichž perioda je v intervalu p = 2L> 0 [-L, L].
Uvažuje se o intervalu [-π, π], který nabízí výhody při využívání výhod symetrických charakteristik funkcí.
Pokud je f sudé, je Fourierova řada ustanovena jako řada kosinů.
Pokud je f liché, je Fourierova řada ustanovena jako řada Sines.
Pokud máme funkci f (t), která splňuje všechny požadavky na vývojovost Fourierovy řady, je možné ji v intervalu [-t, t] označit pomocí její komplexní notace:
Fourierova transformace je mocným nástrojem při studiu parciálních diferenciálních rovnic lineárního typu s konstantními koeficienty. Platí pro funkce s neomezenými doménami stejně.
Stejně jako Laplaceova transformace transformuje Fourierova transformace částečnou derivační funkci na běžnou diferenciální rovnici, jejíž ovládání je mnohem jednodušší..
Cauchyho problém pro rovnici tepla představuje pole častého použití Fourierovy transformace, kde je funkce generována tepelné jádro nebo Dirichletovo jádro.
Pokud jde o výpočet základního řešení, jsou uvedeny následující případy, kdy je běžné najít Fourierovu transformaci:
-Laplaceova rovnice
-Tepelná rovnice
-Schrödingerova rovnice
-Vlnová rovnice
Obecným důvodem pro použití Fourierovy transformace v této větvi je hlavně charakteristický rozklad signálu jako nekonečná superpozice snáze zpracovatelných signálů.
Může to být zvuková vlna nebo elektromagnetická vlna, Fourierova transformace ji vyjadřuje v superpozici jednoduchých vln. Toto zastoupení je v elektrotechnice poměrně časté.
Na druhé straně existují příklady aplikace Fourierovy transformace v oblasti teorie signálů:
-Problémy s identifikací systému. Stanoveno f a g
-Problém konzistence výstupního signálu
-Problémy s filtrováním signálu
Definujte Fourierovu transformaci pro následující výraz:
Můžeme to také reprezentovat následujícím způsobem:
F (t) = Sen (t) [H(t + k) - H(t - k) ]
Obdélníkový puls je definován:
p (t) = H(t + k) - H(t - k)
Fourierova transformace se použije na následující výraz, který se podobá věty o modulaci.
f (t) = p (t) Sen (t)
Kde: F [w] = (1/2) i [p (w + 1) - p (w - 1)]
Fourierova transformace je definována:
F [w] = (1/2) i [(2 / 2w + 1) Sen (k (w + 1)) - (2 / 2w + 1) Sen (k (w-1))]]
Definujte Fourierovu transformaci pro výraz:
Protože f (h) je sudá funkce, lze konstatovat, že
Integrace podle částí se aplikuje výběrem proměnných a jejich rozdílů následujícím způsobem
u = sin (zh) du = z cos (zh) dh
dv = h (např-h)dva v = (např-h)dva / dva
Nahrazení máte
Po vyhodnocení podle základní věty o počtu
Použitím předchozích znalostí týkajících se diferenciálních rovnic prvního řádu je výraz označen jako
Pro získání K vyhodnotíme
Nakonec je definována Fourierova transformace výrazu jako
Zatím žádné komentáře