The Laplaceova transformace V posledních letech má mimo jiné vědecké oblasti velký význam ve studiích inženýrství, matematiky a fyziky, protože kromě velkého teoretického zájmu poskytuje jednoduchý způsob řešení problémů pocházejících z vědy a techniky..
Laplaceovu transformaci původně představil Pierre-Simón Laplace ve své studii o teorii pravděpodobnosti a původně byla považována za matematický objekt čistě teoretického zájmu..
Současné aplikace vyvstávají, když se různí matematici pokusili formálně ospravedlnit „provozní pravidla“ používaná Heavisidem při studiu rovnic elektromagnetické teorie..
Rejstřík článků
Nechť f je funkce definovaná pro t ≥ 0. Laplaceova transformace je definována takto:
Laplaceova transformace se říká, že existuje, pokud předchozí integrál konverguje, jinak se říká, že Laplaceova transformace neexistuje.
Obecně se malá písmena používají k označení funkce, která se má transformovat, a velká písmena odpovídají její transformaci. Tímto způsobem budeme mít:
Uvažujme konstantní funkci f (t) = 1. Máme, že její transformace je:
Kdykoli integrál konverguje, tedy kdykoli s> 0. Jinak s < 0, la integral diverge.
Nechť g (t) = t. Jeho Laplaceova transformace je dána vztahem
Integrací po částech a vědomím, že vy-Svatý má tendenci k 0, když t má tendenci k nekonečnu a s> 0, společně s předchozím příkladem máme:
Transformace může nebo nemusí existovat, například pro funkci f (t) = 1 / t integrál, který definuje její Laplaceovu transformaci, nekonverguje, a proto její transformace neexistuje.
Podmínky dostatečné k zajištění existence Laplaceovy transformace funkce f spočívají v tom, že f je spojitá v částech pro t ≥ 0 a je exponenciálního řádu.
O funkci se říká, že je po částech spojitá pro t ≥ 0, když pro jakýkoli interval [a, b] s a> 0 existuje konečný počet bodů tk, kde f má diskontinuity a je spojitý v každém podintervalu [tk-1,tk].
Na druhou stranu se říká, že funkce je exponenciálního řádu c, pokud existují reálné konstanty M> 0, ca T> 0 takové, že:
Jako příklady máme to f (t) = tdva je exponenciálního řádu, protože | tdva| < e3t pro všechna t> 0.
Formálně máme následující větu
Pokud je f částečná spojitá funkce pro t> 0 a exponenciálního řádu c, pak existuje Laplaceova transformace pro s> c.
Je důležité si uvědomit, že se jedná o podmínku dostatečnosti, to znamená, že by se mohlo stát, že existuje funkce, která tyto podmínky nesplňuje, a přesto existuje její Laplaceova transformace.
Příkladem toho je funkce f (t) = t-1/2 který není po částech spojitý pro t ≥ 0, ale existuje jeho Laplaceova transformace.
Následující tabulka ukazuje Laplaceovy transformace nejběžnějších funkcí.
Laplaceova transformace vděčí za své jméno Pierre-Simon Laplace, francouzský matematik a teoretický astronom, který se narodil v roce 1749 a zemřel v roce 1827. Jeho sláva byla taková, že byl známý jako francouzský Newton.
V roce 1744 se Leonard Euler věnoval studiu integrálů s formou
jako řešení obyčejných diferenciálních rovnic, ale rychle opustil toto vyšetřování. Později Joseph Louis Lagrange, který velmi obdivoval Eulera, také zkoumal tento typ integrálů a spojil je s teorií pravděpodobnosti.
V roce 1782 Laplace začal studovat tyto integrály jako řešení diferenciálních rovnic a podle historiků se v roce 1785 rozhodl přeformulovat problém, který později dal vzniknout Laplaceovým transformacím, jak jsou chápány dnes..
Poté, co byl zaveden do oblasti teorie pravděpodobnosti, nebyl pro tehdejší vědce příliš zajímavý a byl viděn pouze jako matematický objekt pouze s teoretickým zájmem..
Bylo to v polovině 19. století, kdy anglický inženýr Oliver Heaviside zjistil, že diferenciální operátory lze považovat za algebraické proměnné, čímž Laplace transformuje svou moderní aplikaci..
Oliver Heaviside byl anglický fyzik, elektrotechnik a matematik, který se narodil v Londýně v roce 1850 a zemřel v roce 1925. Při pokusu o řešení problémů diferenciálních rovnic aplikovaných na teorii vibrací a pomocí Laplaceových studií začal formovat moderní aplikace Laplaceových transformací.
Výsledky prezentované Heavisidem se rychle rozšířily po celé vědecké komunitě té doby, ale protože jeho práce nebyla přísná, byl rychle kritizován tradičnějšími matematiky..
Užitečnost Heavisideovy práce při řešení rovnic ve fyzice způsobila, že jeho metody byly populární u fyziků a inženýrů..
Navzdory těmto neúspěchům a po několika desetiletích neúspěšných pokusů bylo na počátku 20. století možné důsledně odůvodnit provozní pravidla daná Heaviside..
Tyto pokusy přinesly ovoce díky úsilí různých matematiků, jako jsou Bromwich, Carson, van der Pol a další..
Mezi vlastnostmi Laplaceovy transformace vynikají následující:
Nechť c1 a c2 jsou konstantní a funkce f (t) a g (t), jejichž Laplaceovy transformace jsou F (s) a G (s), pak máme:
Kvůli této vlastnosti je Laplaceova transformace považována za lineární operátor.
Příklad
Pokud se stane, že:
A 'a' je jakékoli skutečné číslo, takže:
Příklad
Protože Laplaceova transformace cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) pak:
Ano
Pak
Příklad
Pokud f (t) = t ^ 3, pak F (s) = 6 / s ^ 4. A proto transformace
je G (s) = 6e-2 s/ s ^ 4
Ano
A „a“ je nenulová realita, musíme
Příklad
Protože transformace f (t) = sin (t) je F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) máme
Pokud f, f ', f ", ..., f(n) jsou spojité pro t ≥ 0 a jsou exponenciálního řádu af(n)(t) je potom po částech spojitý pro t ≥ 0
Ano
Pak
Pokud musíme
Pak
Pokud musíme
Pak
Nechť f je periodická funkce s periodou T> 0, tj. F (t + T) = f (t), pak
Pokud je f spojitá v částech a exponenciálním pořadí a
Pak
Když použijeme Laplaceovu transformaci na funkci f (t), získáme F (s), která představuje uvedenou transformaci. Stejným způsobem můžeme říci, že f (t) je inverzní Laplaceova transformace F (s) a je zapsána jako
Víme, že Laplaceovy transformace f (t) = 1 a g (t) = t jsou F (s) = 1 / s a G (s) = 1 / sdva respektive proto musíme
Některé běžné inverzní Laplaceovy transformace jsou následující
Kromě toho je inverzní Laplaceova transformace lineární, to znamená, že je to pravda
Nalézt
Abychom toto cvičení vyřešili, musíme funkci F (s) porovnat s jednou z předchozí tabulky. V tomto případě, vezmeme-li n + 1 = 5 a pomocí vlastnosti linearity inverzní transformace, vynásobíme a dělíme 4! Získání
Pro druhou inverzní transformaci použijeme parciální zlomky k přepsání funkce F (s) a poté vlastnosti linearity, získáme
Jak můžeme vidět z těchto příkladů, je běžné, že vyhodnocená funkce F (s) přesně neodpovídá žádné z funkcí uvedených v tabulce. Pro tyto případy, jak je vidět, stačí přepsat funkci, dokud nedosáhne příslušného tvaru.
Hlavní aplikací Laplaceových transformací je řešení diferenciálních rovnic.
Pomocí transformační vlastnosti derivátu je jasné, že
A z n-1 derivátů hodnocených při t = 0.
Tato vlastnost činí transformaci velmi užitečnou pro řešení počátečních hodnotových problémů, kde jsou zahrnuty diferenciální rovnice s konstantními koeficienty..
Následující příklady ukazují, jak použít Laplaceovu transformaci k řešení diferenciálních rovnic.
Vzhledem k následujícímu problému počáteční hodnoty
K nalezení řešení použijte Laplaceovu transformaci.
Aplikujeme Laplaceovu transformaci na každého člena diferenciální rovnice
Vlastností transformace derivace máme
Rozvíjením veškerého výrazu a vyčištěním Y (y) jsme ponecháni
Pomocí parciálních zlomků přepsat pravou stranu rovnice dostaneme
Nakonec je naším cílem najít funkci y (t), která splňuje diferenciální rovnici. Výsledkem je inverzní Laplaceova transformace
Řešit
Stejně jako v předchozím případě použijeme transformaci na obě strany rovnice a oddělíme člen po členu.
Tímto způsobem máme jako výsledek
Nahrazení danými počátečními hodnotami a řešení pro Y (s)
Pomocí jednoduchých zlomků můžeme rovnici přepsat následujícím způsobem
Výsledkem je použití inverzní Laplaceovy transformace
V těchto příkladech můžete dojít k nesprávnému závěru, že tato metoda není mnohem lepší než tradiční metody řešení diferenciálních rovnic..
Výhodou Laplaceovy transformace je, že nemusíte používat variaci parametrů nebo si dělat starosti s různými případy metody neurčitého koeficientu..
Kromě toho při řešení počátečních hodnotových problémů touto metodou od začátku používáme počáteční podmínky, takže není nutné provádět další výpočty, abychom našli konkrétní řešení.
Laplaceovu transformaci lze také použít k nalezení řešení simultánních obyčejných diferenciálních rovnic, jak ukazuje následující příklad.
Vytřídit
S počátečními podmínkami x (0) = 8 a y (0) = 3.
Pokud musíme
Pak
Výsledkem je řešení
A použití inverzní Laplaceovy transformace, kterou máme
Laplaceova transformace má ve fyzice velký význam, má hlavně aplikace pro mechaniku a elektrické obvody.
Jednoduchý elektrický obvod se skládá z následujících prvků
Spínač, baterie nebo zdroj, induktor, odpor a kondenzátor. Když je spínač sepnutý, vytvoří se elektrický proud, který je označen i (t). Poplatek kondenzátoru je označen q (t).
Podle druhého Kirchhoffova zákona se napětí produkované zdrojem E do uzavřeného obvodu musí rovnat součtu každého z poklesů napětí.
Elektrický proud i (t) souvisí s nábojem q (t) na kondenzátoru o i = dq / dt. Na druhé straně je pokles napětí v každém z prvků definován takto:
Pokles napětí na rezistoru je iR = R (dq / dt)
Pokles napětí na induktoru je L (di / dt) = L (ddvaq / dtdva)
Pokles napětí na kondenzátoru je q / C.
S těmito daty a aplikací druhého Kirchhoffova zákona na jednoduchý uzavřený obvod se získá diferenciální rovnice druhého řádu, která popisuje systém a umožňuje nám určit hodnotu q (t).
Induktor, kondenzátor a odpor jsou připojeny k baterii E, jak je znázorněno na obrázku. Induktor je 2 henries, kondenzátor je 0,02 farad a odpor je 16 ohmů. V čase t = 0 je obvod uzavřen. Najděte náboj a proud kdykoli t> 0, pokud E = 300 voltů.
Máme, že diferenciální rovnice, která popisuje tento obvod, je následující
Kde jsou počáteční podmínky q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).
Použitím Laplaceovy transformace to získáme
A řešení pro Q (t)
Poté použijeme inverzní Laplaceovu transformaci, kterou máme
Zatím žádné komentáře