A trapéz rovnoramenný je čtyřúhelník, ve kterém jsou dvě strany navzájem rovnoběžné a také dva úhly sousedící s jednou z těchto rovnoběžných stran mají stejnou míru.
Na obrázku 1 máme čtyřúhelník ABCD, ve kterém jsou strany AD a BC rovnoběžné. Úhly ∠DAB a ∠ADC sousedící s paralelní stranou AD mají navíc stejnou míru α.
Takže tento čtyřúhelník nebo čtyřstranný mnohoúhelník je ve skutečnosti rovnoramenný lichoběžník.
V lichoběžníku se nazývají rovnoběžné strany základny a volají se neparalely postranní. Další důležitou vlastností je výška, což je vzdálenost, která odděluje rovnoběžné strany.
Kromě rovnoramenného lichoběžníku existují i jiné typy lichoběžníku:
-Tscalene monkfish, který má všechny své různé úhly a strany.
-Tobdélník ďasovitý, ve kterém má laterál pravý sousední úhel.
Lichoběžníkový tvar je běžný v různých oblastech designu, architektury, elektroniky, výpočtu a mnoha dalších, jak bude vidět později. Proto je důležité seznámit se s jeho vlastnostmi.
Rejstřík článků
Pokud je lichoběžník rovnoramenný, má následující charakteristické vlastnosti:
1. - Strany mají stejné rozměry.
2.- Úhly sousedící se základnami jsou stejné.
3. - Opačné úhly jsou doplňkové.
4.- Úhlopříčky mají stejnou délku, dva segmenty, které spojují protilehlé vrcholy, jsou stejné.
5.- Úhel mezi základnami a úhlopříčkami má stejnou míru.
6.- Má ohraničený obvod.
Naopak, pokud lichoběžník splňuje některou z výše uvedených vlastností, jedná se o rovnoramenný lichoběžník.
Pokud je v rovnoramenném lichoběžníku jeden z úhlů pravý (90 °), budou všechny ostatní úhly také správné a vytvoří obdélník. To znamená, že obdélník je zvláštním případem rovnoramenného lichoběžníku.
Následující sada vlastností je platná pro všechny lichoběžníky:
7. - The medián lichoběžníku, tj. segmentu, který spojuje středy jeho nerovnoběžných stran, je rovnoběžný s jakoukoli základnou.
8. - Délka mediánu se rovná semi-součtu (součet dělenému 2) jeho základen.
9.- Medián lichoběžníku prořízne své úhlopříčky ve středu.
10. - Úhlopříčky lichoběžníku se protínají v bodě, který je rozděluje na dvě části úměrné kvocientům bází.
11.- Součet čtverců úhlopříček lichoběžníku se rovná součtu čtverců jeho stran plus dvojnásobný součin jeho základen.
12. - Segment, který spojuje střední body úhlopříček, má délku rovnou semifinále základen.
13.- Úhly sousedící s bočními úhly jsou doplňkové.
14. - Lichoběžník má vepsaný obvod právě tehdy, když se součet jeho základen rovná součtu jeho stran.
15. - Pokud má lichoběžník vepsaný obvod, pak úhly s vrcholem ve středu uvedeného obvodu a strany, které procházejí konci stejné strany, jsou pravé úhly.
Následující sada vztahů a vzorců odkazuje na obrázek 3, kde jsou kromě rovnoramenných lichoběžníků zobrazeny i další již zmíněné důležité segmenty, jako jsou úhlopříčky, výška a medián.
1. - AB = DC = c = d
2. - ∡DAB = ∡CDA a ∡ABC = ∡BCD
3. - ∡DAB + ∡BCD = 180 ° a ∡CDA + ∡ABC = 180 °
4. - BD = AC
5. - ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α1
6. - A, B, C a D patří do vymezené kružnice.
8. - KL = (AD + BC) / 2
9. - AM = MC = AC / 2 a DN = NB = DB / 2
10. - AO / OC = AD / BC a DO / OB = AD / BC
11. - ACdva + DBdva = ABdva + DCdva + 2⋅AD⋅BC
12. - MN = (AD - BC) / 2
13. - ∡DAB + ∡ABC = 180 ° a ∡CDA + ∡BCD = 180 °
14. - Pokud AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R než ve stejné vzdálenosti od AD, BC, AB a DC
15. - Pokud ∃ R ve stejné vzdálenosti od AD, BC, AB a DC, pak:
∡BRA = ∡DRC = 90º
Pokud se v rovnoramenném lichoběžníku součet bází rovná dvojnásobku boční, pak existuje zapsaný obvod.
Pokud má rovnoramenný lichoběžník vepsaný obvod, platí následující vlastnosti (viz obrázek 4 výše):
16. - KL = AB = DC = (AD + BC) / 2
17.- Úhlopříčky se protínají v pravých úhlech: AC ⊥ BD
18.- Výška měří stejně jako medián: HF = KL, tj. H = m.
19. - Čtverec výšky se rovná součinu základen: hdva = BC⋅AD
20. - Za těchto specifických podmínek se plocha lichoběžníku rovná čtverci výšky nebo součinu základen: Plocha = hdva = BC⋅AD.
Známou základnu, boční a úhel, lze druhou základnu určit podle:
a = b + 2c Cos α
b = a - 2c Cos α
Pokud jsou délka základen a úhel uvedeny jako známá data, pak jsou délky obou stran:
c = (a - b) / (2 Cos α)
a = (d1dva - Cdva) / b;
b = (d1dva - Cdva) / do
c = √ (d1dva - a⋅b)
Kde d1 je délka úhlopříček.
a = (2 A) / h - b
b = (2 A) / h - a
c = (2A) / [(a + b) sin α]
c = A / (m sin α)
h = √ [4 stdva - (a - b)dva]
h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. hřích α
d1 = √ (cdva+ a b)
d1 = √ (adva+ Cdva - 2 a c Cos α)
d1 = √ (bdva + Cdva- 2 b c Cos β)
P = a + b + 2c
Existuje několik vzorců pro výpočet plochy, v závislosti na známých datech. Toto je nejznámější, v závislosti na základnách a výšce:
A = h⋅ (a + b) / 2
A můžete také použít tyto další:
A = [(a + b) / 4] √ [4cdva - (a - b)dva]
A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α
A = 4 rdva / Sen α = 4 rdva / Sen β
A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β
A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2
A = (d1dva/ 2) Sen γ = (d1dva / 2) Sen δ
A = mc.sen α = mc.sen β
Pouze rovnoramenné lichoběžníky mají ohraničený obvod. Pokud je větší základna a, jsou známy boční c a úhlopříčka d1, pak poloměr R kruhu, který prochází čtyřmi vrcholy lichoběžníku, je:
R = a⋅c⋅d1 / 4√ [p (p -a) (p -c) (p - d1)]
Kde p = (a + c + d1) / dva
Rovnoramenný lichoběžník se objevuje v oblasti designu, jak je vidět na obrázku 2. A zde je několik dalších příkladů:
Starověcí Inkové znali rovnoramenný lichoběžník a použili jej jako stavební prvek v tomto okně v peruánském Cuzcu:
A zde se ve volání znovu objeví hrazda trapézový plech, materiál často používaný ve stavebnictví:
Už jsme viděli, že rovnoramenný lichoběžník se objevuje v každodenních předmětech, včetně potravin, jako je tato čokoládová tyčinka:
Rovnoramenný lichoběžník má základnu větší než 9 cm, základnu menší než 3 cm a její úhlopříčky jsou 8 cm. Vypočítat:
stranou
b) Výška
c) Obvod
d) Plocha
Vynese se výška CP = h, kde úpatí výšky definuje segmenty:
PD = x = (a-b) / 2 r
AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.
Použití Pythagorovy věty na pravý trojúhelník DPC:
Cdva = hdva + (a - b)dva / 4
A také k pravému trojúhelníku APC:
ddva = hdva + APdva = hdva + (a + b)dva / 4
Nakonec, člen po členu, je druhá rovnice odečtena od první a zjednodušena:
ddva - Cdva = ¼ [(a + b)dva - (a-b)dva] = ¼ [(a + b + a-b) (a + b-a + b)]
ddva - Cdva = ¼ [2a 2b] = a b
Cdva= ddva - a b ⇒ c = √ (ddva - a b) = √ (8dva - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm
hdva = ddva - (a + b)dva / 4 = 8dva - (12dva / dvadva ) = 8dva - 6dva = 28
h = 2 √7 = 5,29 cm
Obvod = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6,083 = 24,166 cm
Plocha = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm
Existuje rovnoramenný lichoběžník, jehož největší základna je dvakrát nejmenší a její nejmenší základna se rovná výšce, která je 6 cm. Rozhodni se:
a) Délka bočnice
b) Obvod
c) Plocha
d) Úhly
Data: a = 12, b = a / 2 = 6 a h = b = 6
Postupujeme takto: výška h je nakreslena a Pythagorova věta je aplikována na trojúhelníkový trojúhelník „c“ a nohy h a x:
Cdva = hdva+xcdva
Pak musíte vypočítat hodnotu výšky z dat (h = b) a hodnoty nohy x:
a = b + 2 x ⇒ x = (a-b) / 2
Nahrazením předchozích výrazů máme:
Cdva = bdva+(a-b)dva/dvadva
Nyní jsou zavedeny číselné hodnoty a je zjednodušeno:
Cdva = 62+ (12-6) 2/4
Cdva = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)
Získání:
c = 3√5 = 6,71 cm
Obvod P = a + b + 2 c
P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm
Plocha jako funkce výšky a délky základen je:
A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cmdva
Úhel α tvořený bočnicí s větší základnou se získá trigonometrií:
Tan (α) = h / x = 6/3 = 2
α = ArcTan (2) = 63,44 °
Druhý úhel, ten, který tvoří boční s menší základnou, je β, který je doplňkový k α:
β = 180 ° - α = 180 ° - 63,44 ° = 116,56 °
Zatím žádné komentáře