Výsledný vektorový výpočet, příklady, cvičení

The výsledný vektor je ten získaný pomocí operace s vektory, jejichž výsledkem je také vektor. Normálně je tato operace součtem dvou nebo více vektorů, pomocí kterých se získá vektor, jehož účinek je ekvivalentní.

Tímto způsobem se získají vektory, jako je výsledná rychlost, zrychlení nebo síla. Například když na tělo působí několik sil F₁, F_dva, F₃,…. vektorový součet všech těchto sil je ekvivalentní čisté síle (výslednici), která je matematicky vyjádřena takto:

F₁ + F_dva + F₃ +… = F_R  nebo F_N

Výsledný vektor, ať už jsou to síly nebo jakákoli jiná velikost vektoru, je nalezen použitím pravidel sčítání vektorů. Protože vektory mají kromě číselné hodnoty i směr a smysl, nestačí přidat moduly, aby měl výsledný vektor.

To platí pouze v případě, že jsou zapojené vektory ve stejném směru (viz příklady). Jinak je nutné použít metody vektorového součtu, které mohou být podle případu geometrické nebo analytické..

Rejstřík článků

• 1 Příklady
  • 1.1 Geometrické metody pro přidání dvou vektorů
• 2 Cvičení
  • 2.1 - Cvičení 1
  • 2.2 Cvičení 2
• 3 Odkazy

Příklady

Geometrické metody k nalezení výsledného vektoru jsou polygonální metoda a metoda rovnoběžníku.

Pokud jde o analytické metody, existuje komponentní metoda, pomocí které lze najít vektor, který je výsledkem libovolného systému vektorů, za předpokladu, že máme jeho kartézské komponenty..

Geometrické metody pro přidání dvou vektorů

Předpokládejme vektory nebo Y proti (Označíme je tučně, abychom je odlišili od skalárů). Na obrázku 2a) je máme umístěné v rovině. Na obrázku 2 b) byl přenesen do vektoru v takovým způsobem, že jeho počátek se shoduje s koncem nebo. Výsledný vektor jde od počátku prvního (nebo) ke špičce posledního (proti):

Výsledným obrázkem je v tomto případě trojúhelník (trojúhelník je 3stranný mnohoúhelník). Pokud máme dva vektory ve stejném směru, postup je stejný: umístěte jeden z vektorů za druhý a nakreslete jeden, který jde od počátku nebo ocasu prvního ke špičce nebo konci posledního.

Všimněte si, že na pořadí, ve kterém se tento postup provádí, nezáleží, protože součet vektorů je komutativní.

Všimněte si také, že v tomto případě modul (délka nebo velikost) výsledného vektoru je součet modulů přidaných vektorů, na rozdíl od předchozího případu, kdy je modul výsledného vektoru menší než součet modulů účastníků.

Metoda rovnoběžníku

Tato metoda je velmi vhodná, když potřebujete přidat dva vektory, jejichž počátky se shodují, řekněme, s počátkem souřadného systému x-y. Předpokládejme, že tomu tak je pro naše vektory nebo Y proti (obrázek 3a):

Na obrázku 3b) byl rovnoběžník sestrojen pomocí tečkovaných čar rovnoběžných s nebo již proti. Výsledný vektor má svůj počátek v O a jeho konec v bodě, kde se tečkované čáry protínají. Tento postup je zcela ekvivalentní postupu popsanému v předchozí části..

Výcvik

-Cvičení 1

Vzhledem k následujícím vektorům najděte výsledný vektor pomocí metody procházení.

Řešení

Metoda traverzu je první z viděných metod. Pamatujte, že součet vektorů je komutativní (pořadí součtů součet nemění), takže můžete začít s některým z vektorů, například nebo (obrázek 5a) nebo r (obrázek 5b):

Získaný údaj je mnohoúhelník a výsledný vektor (modře) se nazývá R. Pokud začnete s jiným vektorem, tvar, který je vytvořen, se může lišit, jak je vidět v příkladu, ale výsledný vektor je stejný.

Cvičení 2

Na následujícím obrázku je známo, že moduly vektorů nebo Y proti respektive jsou to u = 3 libovolné jednotky a v = 1,8 libovolných jednotek. Úhel, který nebo tvar s kladnou osou x je 45 °, zatímco proti tvoří 60 ° s osou y, jak je vidět na obrázku. Najděte výsledný vektor, velikost a směr.

Řešení

V předchozí části byl výsledný vektor nalezen použitím metody rovnoběžníku (na obrázku tyrkysová).

Snadný způsob, jak analyticky najít výsledný vektor, je vyjádřit vektory sčítání pomocí jejich kartézských komponent, což je snadné, pokud jsou známy modul a úhel, jako jsou vektory v tomto příkladu:

nebo_X = u. cos 45º = 3 x cos 45º = 2,12; nebo_Y = u. hřích 45º = 3x hřích 45º = 2,12

proti_X = v. hřích 60 ° = 1,8 x hřích 60 ° = 1,56; proti_Y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

Vektory nebo Y proti jsou to vektory náležející k rovině, proto mají každá dvě složky. Vektor u je v prvním kvadrantu a jeho složky jsou kladné, zatímco vektor v je ve čtvrtém kvadrantu; jeho složka x je kladná, ale její projekce na svislé ose padá na zápornou osu y.

Výpočet kartézských složek výsledného vektoru

Výsledný vektor se nalézá algebraickým přidáním příslušných komponent x a y, aby se získaly jejich kartézské komponenty:

R_X = 2,12 + 1,56 = 3,68

R_Y = 2,12 + (-0,9) = 1,22

Jakmile jsou určeny karteziánské komponenty, je vektor plně znám. Výsledný vektor lze vyjádřit notací v hranatých závorkách (rovnátka):

R = < 3.68; 1.22> libovolné jednotky

Zápis s hranatými závorkami se používá k rozlišení vektoru od bodu v rovině (nebo v prostoru). Dalším způsobem, jak analyticky vyjádřit výsledný vektor, je použití jednotkových vektorů i a j v rovině (i, j Y k v prostoru):

R = 3,68 i + 1.22 j libovolné jednotky

Protože obě složky výsledného vektoru jsou kladné, vektor R patří do prvního kvadrantu, který už byl dříve graficky viděn.

Velikost a směr výsledného vektoru

Znát kartézské složky, velikost R se vypočítá pomocí Pythagorovy věty, protože výsledný vektor R, společně s jeho R komponentami_X a R._Y tvoří pravý trojúhelník:

Velikost nebo modul: R = (3,68^dva + 1.22^dva)^½ = 3,88

Směr q beroucí kladnou osu x jako referenci: q = arktan (R._Y / R._X) = arctg (1,22 / 3,68) = 18,3 °

Reference

1. Přidávání vektorů a pravidel. Citováno z: newt.phys.unsw.edu.au
2. Figueroa, D. Series: Fyzika pro vědy a inženýrství. Svazek 1. Kinematika. 31-68.
3. Fyzický. Modul 8: Vektory. Obnoveno z: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Statický. 6. vydání. Continental Publishing Company. 15-53.
5. Kalkulačka sčítání vektorů. Citováno z: www.1728.org